EPIdémie - Recherche 4 (Activité introductive)

Une activité introductive possible pour réfléchir aux limites d’un modèle

« Les modèles ne sont pas meilleurs que les hypothèses que l’on a faites pour les construire ».

Résumé

Elaboration d’un modèle de propagation d’une épidémie.

Discipline(s)

Mathématiques.

Notions disciplinaires

Mathématiques : Calculer des probabilités dans un cas simple.

Capacités et attitudes disciplinaires travaillées

Mathématiques : Introduction aux probabilités.

Traduire en langage mathématique une situation réelle, Comprendre et utiliser une simulation, Valider ou invalider un modèle, Comparer une situation à un modèle connue (par exemple un modèle aléatoire).

Capacités transversales

Introduction à la notion de modèle.

Matériel nécessaire/utile

Dé ou pièce ; éventuellement : logiciel Excel.

Durée, modalités

Une séance.

 

Objectifs

L’activité suivante permet de faire émerger la notion de modélisation, et notamment d’introduire une réflexion sur l’importance de la bonne construction du modèle (et notamment de l’étape décisive où l’on convertit nos hypothèses en règles de construction du modèle). Elle peut également être un outil pour préparer à introduire la notion de probabilité.

 

Situation de départ

C’est bien connu, les élèves ont une maladie : ils veulent tout le temps se mettre debout ! On va étudier la propagation d’une telle maladie au sein de la classe…

Des données scientifiques nous informent que chaque élève au contact d'un individu infecté a une chance sur deux d’être contaminé à son tour. On interroge les élèves pour déterminer la méthode à suivre pour savoir qui est contaminé. Les élèves sont amenés à proposer l’utilisation d’une pièce ou d’un dé. La manipulation sera faite jusqu’à ce que tous les élèves soient contaminés (ou un nombre déterminé d’élèves).

Le professeur demande alors aux élèves d’imaginer en combien de « tours » ils pensent qu’une telle maladie aura contaminé l’ensemble de la classe. Après discussion, l’activité commence.

 

Activité

Pendant que les élèves réalisent leurs lancers et que la maladie se propage, on construit à chaque étape un graphique pour représenter les données :

  • le nombre de nouveaux cas infectés
  • le nombre total d’infectés

Une fois le graphique obtenu, le professeur ouvre une discussion. Il explique que la maladie a quitté la salle et contamine le monde autour d’eux. Les scientifiques, inquiets, veulent savoir quand le monde entier sera contaminé.

Il est impossible de réaliser une expérience. Il faut donc construire un modèle de la situation c’est-à-dire une version simplifiée que l’on pourra étudier pour répondre à la question. Avoir eu recours à une pièce (ou un dé) était déjà une première étape de modélisation puisqu’on a simplifié les phénomènes biologiques de contamination par un lancer de pièce. Mais on peut vouloir aller plus loin en regardant les données. Comment évolue le nombre total d’infectés entre chaque tour ? Eventuellement on peut revenir sur les prédictions réalisées. Si chaque élève a 4 élèves sains autour de lui,  on s’attend à ce que le nombre total d’infectés double à chaque tour. Les élèves peuvent remarquer que c’est globalement le cas, mais que les valeurs ont fluctué. Ceci peut constituer une porte d’entrée vers le cours sur les probabilités. Mais dans le cas de notre modélisation, on veut s’affranchir de ce hasard. On va donc avoir recours à une fonction mathématique : y = 2x où ici x représente le nombre total d’infectés. C’est la fonction puissance. Elle traduit bien notre situation sans le fonctionnement aléatoire puisqu’on a 1 puis 2 puis 4 etc… individus infectés.

Après superposition des deux graphes, on peut conclure que :

  • il existe des écarts entre le modèle et les données observées dans la classe. Ceci est dû au fait que la transmission dans la classe est un phénomène aléatoire. Ceci sera étudié plus tard (ou a déjà été vu) mais on veut le négliger ici.
  • les allures des deux courbes sont assez similaires pour qu'on puisse utiliser la fonction puissance comme modélisation de la situation observée. Cela va être très pratique pour essayer de prédire l’évolution de la maladie ! C’est ce que font les chercheurs. Une fois que la maladie a émergé, ils établissent un modèle qui permet de prédire l’évolution probable de la maladie. Le modèle ne doit pas être strictement identique à la réalité mais s’en approcher de façon suffisante tout en étant plus simple pour permettre de faire des prédictions.

 

Les élèves sont maintenant invités à répondre à la problématique à l’aide de l’outil Excel.

Consigne : Faire une représentation graphique sur tableur pour répondre à cette question puis utiliser cette feuille de calcul afin de déterminer l’étape à laquelle toute la population française puis mondiale est touchée.

Coups de pouce 

  • Rentrer une formule simple, Utiliser l’adresse d’une autre cellule pour faire un copier-coller de formules.
  •  1ère colonne : les valeurs de n : A2+1
  • 2ème colonne : 2^A2 + tirer vers le bas
  • 3ème colonne : somme des infectés

Données (estimations en 2016)

  • taille de la population française : 66 millions
  • taille de la population mondiale : 7,3 milliards

 

Conclusion et discussion

Dans ce modèle, 32 « tours » suffisent à contaminer la population mondiale. Bien que le terme de « tours » soit confus, la conclusion est qu’une contamination de tous les individus du monde est possible. Une discussion peut alors être engagée. Certains élèves pensent qu’il est probable que la maladie envahisse la population mondiale, d’autres non. Des idées pertinentes émergent :

  • oui le modèle est crédible car : les gens voyagent beaucoup et facilement vers de nombreux pays ; certaines maladies ne s’expriment pas chez certains patients.
  • non le modèle n’est pas crédible car : les chercheurs vont agir et permettre d’éviter que la maladie se propage ; des gens vont prendre un traitement et guérir ou juste tomber moins facilement malades ; des gens vivant dans des zones isolées ne seront pas touchés.

Tous ces éléments pourront être repris dans les activités futures dans les disciplines concernées.

Le point essentiel est de comprendre que les scientifiques ont recours à des modèles qu’ils construisent. Pour les construire ils font des hypothèses. Les modèles sont forcément des simplifications de la réalité. Mais une simplification trop poussée ou l’oubli de certaines hypothèses importantes peut mener à des prédictions erronées qui nécessitent un réajustement du modèle.

 

Notes pédagogiques pour le déroulement de l’activité

Il faut ici réfléchir à la disposition des élèves dans la classe. Des salles de classe particulières en îlots peuvent créer des situations où les élèves n’ont que 3 élèves adjacents ce qui rend la propagation de la maladie trop lente. On peut également choisir un élève patient 0 plutôt central.

On peut désigner un élève pour qu’il réalise au tableau le graphique pour toute la classe où chaque élève peut remplir le graphique en temps réel. Cela permet d’occuper les élèves qui ne lancent pas de pièce !


 

Partenaires du projet

Fondation La main à la pâte