Bulles de savon et problème de Steiner

Cette activité a été conçue dans le cadre de l'action Expérimentons les maths ! qui s'adresse à un public de formateurs d'enseignants. Plusieurs personnes ont grandement contribué à améliorer les idées initiales, parmi lesquelles Philppe Grillot, Romain Flouret et Jean-Luc Pernette. Ce dernier a élaboré plusieurs documents que nous reproduisons ici. Un très très grand merci à Jean-Luc donc pour son enthousiasme permanent et communicatif !

Nous conseillons vivement la lecture de l'article Mathématiques savonneuses (auquel nous avons emprunté quelques illustrations) écrit par Paul Laurain dans la revue en ligne Images des mathématiques pour accompagner ce document et cette activité. On pourra également consulter cette page qui montre que les bulles de savon en tant que telles sont toujours un sujet d'actualité en recherche.

 

Tout d'abord un peu de cuisine... car pour fabriquer de belles bulles de savon, il faut faire un bon dosage eau-savon. Voici donc pour commencer (et non pour finir !) une recette qui vous garantit un bon mélange.

 

La première partie de l'activité consiste à fabriquer des bulles ! Plus précisément, il s'agit de tremper dans l'eau savonneuse toute sorte d'objet, puis d'observer et de noter les formes que prend le film de savon. Remarquez que plusieurs formes sont possibles avec le même objet. Parmi les objets auxquels on pourra penser, des fils métalliques tordus dans tous les sens sont très bien pour expérimenter. Il est aussi possible de fabriquer des structures en utilisant des ZomeTool. Bref, libre cours à votre imagination !

Il semble bien que le film de savon se positionne systématiquement dans le but de minimiser sa surface d'une certaine façon. Le petit film ci-dessous est particulièrement éclairant à ce sujet.

Le problème de déterminer mathématiquement les formes que va prendre le film de savon étant donné un contour que l'on plonge dans l'eau savonneuse est un problème extrêmement difficile et de nombreuses questions sont toujours ouvertes. Les mathématiciens ont encore bien du travail autour de ces questions... Face à un problème trop compliqué, une démarche souvent fructueuse consiste à changer de problème ! Plus précisément à essayer de résoudre un problème de minimisation plus simple. Le problème plus facile étant résolu, on aura peut-être gagner des idées et des outils pour revenir au problème initial. Nouveau problème : on souhaite construire des routes pour relier trois villes. La contrainte, c'est que l'on souhaite utiliser le moins de bitume possible. Y a-t-il une solution optimale ? Plusieurs ? Aucune ? Place à l'expérimentation.

Cette expérience de la potence mérite quelques explications. Chaque potence est équipée d'une poulie libre de s'orienter et une masse m est suspendue. Le poids, c'est-à-dire la force verticale qu'exerce la masse m sur la ficelle à cause de la gravité, est entièrement transféré en une force de même intensité qui s'exerce au niveau du point où se rejoigne les trois ficelles en direction de la potence en question.

Le système des trois masses se met à l'équilibre de sorte que la résultante des forces qui s'exerce au point où se rejoignent les trois ficelles est nulle. Si on note A, B et C les trois poulies, mA, mB et mC les trois masses respectives, et P le point d'équilibre où se rejoignent les trois ficelles, on a alors l'équation mA.g.PA/||PA|| + mB.g.PB/||PB|| + mC.g.PC/||PC|| = 0. Dans l'équation précédente, on note PA le vecteur d'origine P et pointant au point A, et ||PA|| sa norme. Idem pour les points B et C. Ainsi le vecteur PA/||PA|| est un vecteur unitaire. Bien entendu, on peut diviser l'équation précédente par la constante de gravité g qui est en facteur, ce qui donne mA.PA/||PA|| + mB.PB/||PB|| + mC.PC/||PC|| = 0. Enfin, dans le cas de trois masses égales mA = mB = mC, l'équation se réduit à PA/||PA|| + PB/||PB|| + PC/||PC|| = 0.

Mais le point P solution de cette équation est précisément le point de Steiner. Plusieurs démonstrations sont possibles. Les amateurs d'analyse considéreront la fonction f(P) = ||PA||+||PB||+||PC|| et calculeront l'équation satisfaite par un point P où la différentielle s'annule (une condition nécessaire pour qu'une fonction admette un extremum au point P est que sa dérivée s'annule en ce point P). Ils trouveront exactement l'équation précédente. On peut également proposer un argument géométrique pour le démontrer. Ces deux approches sont présentées dans ce document élaboré par Romain Flouret. Au lieu de chercher à minimiser la fonction f (ce qui est le problème initial de Steiner), on peut aussi chercher à minimiser la fonction g(P) = mA.||PA||+mB.||PB||+mC.||PC||, pour des coefficients mA, mB, mC donnés. Dans le problème des villes et des routes, ces poids mA, mB, mC pourraient correspondre à des coûts de construction des routes, ayant décidé à l'avance qu'on veut construire une autoroute entre P et A, une nationale entre P et B et une départementale entre P et C. Quoiqu'il en soit, la solution du problème de minimisation de g donne alors l'équation que nous avons écrite dans le cas général de trois masses.

Ainsi, notre système physique de poids et de potence résout bien le problème de Steiner, ainsi qu'une généralisation naturelle de ce problème avec des masses différentes.   Pour aller plus loin, on peut se demander aussi ce qui se passe dans le cas de quatre villes ? Ou davantage ? C'est la question-réflexe que va se poser un mathématicien dès qu'il aura résolu le cas de trois villes. C'est souvent une démarche fructueuse que de donner de la flexibilité à un problème ; là encore, ça permet parfois de développer d'autres outils qui pourraient être utiles ailleurs.

Le problème est célèbre et s'appelle le problème de Steiner. Notez la diversité des approches pour attaquer ce problème : papier-crayon, logiciel geogebra, utilisation de poids, utilisation du film de savon, expérimentation humaine avec des cordes coulissantes... Récapitulons l'ensemble de l'activité à travers les diapositives suivantes.

 

 

 

 

 

L'activité peut également s'accompagner d'un éclairage scientifique autour de la physique-chimie des films de savon, l'occasion de discuter de tension superficielle. Ainsi que d'un éclairage mathématique sur les surfaces minimales. L'activité a également été mise en œuvre dans des classes de collège (voir le document élaboré par Romain Flouret déjà évoqué). On pourra alors insister sur l'approche expérimentale via le logiciel geogebra et bien entendu donner une démonstration complète et élémentaire du problème de Steiner. 

 

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