29 notions-clefs : la gravitation

Einstein et le ballon ovale
Auteurs : Travail collectif(plus d'infos)
Résumé :
Référentiels et relativité
Publication : 7 Avril 2014

Nous rejoignons Einstein dans un train. Tous les rideaux du wagon sont tirés et, dès lors que le train avance à une vitesse constante, il est impossible de connaître sa vitesse de l’intérieur. Pis : il est même impossible de savoir s’il avance. Seuls l’indiquent les moments d’accélération (augmentation de la vitesse) ou de décélération (diminution) pendant lesquels le corps ressent une poussée vers l’arrière ou vers l’avant.
Le wagon est notre espace de référence, celui à partir duquel nous « prenons nos marques ». C’est ce que les physiciens appellent un référentiel. La vache qui regarde le train passer a clairement un autre référentiel (et probablement d’autres échelles de valeur, mais là, nous quittons la physique) : dans son référentiel, notre train se déplace.
En suivant Galilée, Einstein élève l’observation précédente au niveau d’un postulat : toutes les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels en mouvement uniforme les uns par rapport aux autres. Il qualifie ces référentiels de galiléens, en hommage à qui vous savez.
Ce postulat d’Einstein a des conséquences très profondes : elles vont jusqu’à remettre en cause notre notion du temps. De quoi hésiter à faire un voyage en train avec Einstein ! Voyons quand même cela de plus près.
Les lois de l’électromagnétisme, fixées à la fin du xixe siècle par Maxwell (1831-1879), font intervenir de façon centrale la vitesse de la lumière, notée c (c = 300 000 km/s). Rien d’étonnant, puisque l’électromagnétisme inclut l’optique : les ondes électromagnétiques (y compris lumineuses) se propagent dans le vide à la vitesse c. Puisque les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels galiléens, la vitesse de la lumière doit y être la même.

Cette assertion en apparence anodine va entraîner la relativité des mesures du temps par rapport à l’observateur qui fait la mesure. Revenons dans le wagon, ouvrons les rideaux et faisons l’expérience (fictive) suivante. Une très brève impulsion de lumière est émise par une lampe placée au sol et l’on mesure avec un chronomètre (haut du schéma ci-contre) le temps que cette impulsion met à se réfléchir sur un miroir accroché au plafond et à revenir à son point de départ. On a la relation standard :

Nous avons procuré un second chronomètre à la vache qui voit passer le train, et elle a fait une mesure similaire. Similaire, mais différente ! Décomposons en effet le mouvement du train (milieu). La distance parcourue par l’impulsion entre le moment où elle est émise et celui où elle est réfléchie sur le miroir est plus grande que précédemment : pour la simple raison que le miroir s’est déplacé (avec le train) par rapport à la vache. Même remarque pour la distance parcourue par l’impulsion entre la réflexion sur le miroir et le retour au point de départ. Nous allons appeler cette nouvelle distance dans le référentiel de la vache distance ♣. Puisque le rapport de la distance au temps est la vitesse de l’impulsion de lumière, qui ne peut être que c, nécessairement le temps mesuré par le chronomètre de la vache est un nouveau temps ♣ de façon que :

Donc, quand nous comparons les deux chronomètres, ils marquent une durée différente entre le départ et l’arrivée de l’impulsion. Et inutile de se livrer à un anthropocentrisme de mauvais aloi : la vache a autant raison que nous, au moins sur ce point-là.

Puisque la distance mesurée de l’extérieur est la plus grande (distance ♣ > distance), la durée mesurée par la vache est la plus grande (temps ♣ > temps) : la même succession d’événements semble prendre moins de temps dans les référentiels en mouvement (ici le train). Les horloges en mouvement semblent donc aller plus lentement. C’est ce qu’on appelle « dilatation des temps dans les référentiels en mouvement ». De façon remarquable, cette dilatation des temps a été mesurée expérimentalement : on a synchronisé deux horloges atomiques puis fait voyager l’une d’entre elles dans un avion pendant près de vingt-quatre heures. Quand on l’a comparée à l’horloge qui était restée immobile, elle retardait.


Bien sûr, notre exemple de train n’avait qu’une vertu pédagogique. La dilatation des temps dans un train est tout à fait négligeable. Il serait nécessaire que la vitesse du train soit comparable à celle de la lumière pour qu’il en soit autrement.
Que se passe-t-il quand la vitesse du référentiel mobile tend vers la vitesse de la lumière ? Dans ce cas, la dilatation des temps s’accroît infiniment et, d’une certaine façon, l’on peut dire que le temps s’arrête. C’est pour cela que la vitesse de la lumière représente une valeur limite pour les vitesses dans le cadre de la théorie de la relativité.
Si la notion de temps est devenue relative, la notion d’espace l’est tout autant. Si la vitesse de notre train était proche de celle de la lumière, alors un ballon de football apparaîtrait à un observateur immobile (notre vache) comme aplati dans la direction du mouvement : comme un ballon ovale, quoi ! On appelle ceci « contraction des longueurs dans les référentiels en mouvement ». Notons que la déformation (contraction) ne se fait que dans la direction du mouvement : les longueurs restent inchangées dans la direction perpendiculaire au mouvement (la grande dimension de notre ballon ovale).
Nous voyons donc que les notions d’espace et de temps, nous dirons dorénavant d’espace-temps, sont bouleversées par le postulat d’Einstein.

Einstein et les ascenseurs en chute libre

Einstein considérait toutefois que la restriction de son postulat à des référentiels galiléens était une limitation injustifiée d’un point de vue physique. C’est en cherchant à s’affranchir de cette restriction qu’il a conçu la théorie de la relativité générale.

Échangeons notre train pour un vaisseau spatial suffisamment loin de la Terre pour ne pas en subir l’attraction : nous sommes en état d’apesanteur Dans le cas où le vaisseau spatial est en mouvement uniforme, si nous lâchons une boule de bois et une boule de plomb, elles flotteront immobiles à l’intérieur du vaisseau : elles ont la même vitesse que le vaisseau et continuent donc à l’accompagner dans son mouvement (a, ci-dessous) Si maintenant le vaisseau subit une accélération, disons égale à 1 g pour fixer les idées, alors quand nous lâchons les boules, elles vont sembler tomber (b) : en fait, elles continuent à avancer à la vitesse qu’elles avaient quand nous les avons lâchées mais puisque le vaisseau a accéléré, c’est-à-dire a augmenté sa vitesse, il s’est déplacé relativement aux boules. Comme nous nous déplaçons avec lui, ce sont les boules qui semblent se déplacer.


Une simple question de mouvement apparent. Pourtant, une nouvelle fois, Einstein va l’élever au niveau de postulat ! Il nous dit que nous n’avons aucun moyen physique de distinguer entre le mouvement de boules sous l’effet de la gravitation terrestre (nous dirons : dans le champ gravitationnel de la Terre, un champ gravitationnel étant pour nous simplement une région de l’espace où les corps sont soumis à une force gravitationnelle) et le mouvement des boules dans le vaisseau spatial accéléré. Deux phénomènes – gravitation et accélération – d’origines bien différentes et pourtant équivalents.
Une autre façon de présenter cette équivalence est la suivante : nous sommes maintenant de retour sur Terre, nous nous enfermons dans une pièce et nous fermons bien les volets pour n’avoir pas de contact avec l’extérieur. De nouveau, nous lâchons les deux boules qui tombent par terre. Impossible pourtant de voir une différence avec le mouvement des boules dans le vaisseau spatial. Autrement dit, tant que nous n’avons pas rouvert les volets pour voir à l’extérieur, impossible de dire si nous sommes sur Terre ou dans un vaisseau spatial soumis à une accélération de 1 g.
Si accélération et gravitation sont équivalentes, on devrait pouvoir annuler les effets de la gravitation par une accélération appropriée. Rien de plus facile ! Il suffit, lors d’une descente en ascenseur, de couper le câble. Einstein nous dit que rien ne peut différencier notre mouvement à l’intérieur de la cage d’ascenseur du mouvement d’un astronaute dans un vaisseau spatial en mouvement uniforme : nous semblons flotter dans la cage d’ascenseur en chute libre comme l’astronaute en état d’apesanteur. La conquête spatiale à portée de toutes les bourses !
Il y a toutefois des voyages spatiaux qui se terminent mal.

Le postulat d’Einstein qui établit une équivalence entre accélération et gravitation a pour nom principe d’équivalence : les observations faites dans un référentiel en accélération sont impossibles à distinguer d’observations faites dans un champ de gravitation.

Appliquons ceci à la lumière. Pour cela, reprenons place dans notre vaisseau spatial et émettons un rayon de lumière horizontalement. Si le vaisseau est en mouvement uniforme (a), nous savons que la lumière se propage en ligne droite (c’est le cas sur Terre et donc dans tout référentiel en mouvement uniforme par rapport à la Terre). Mais ce n’est plus le cas si le vaisseau est en mouvement accéléré. Comme pour la boule, le vaisseau continue à accélérer une fois la lumière émise et, pour l’observateur dans le vaisseau, la lumière semble tomber (b) : sa trajectoire est courbe. Mais si la trajectoire de la lumière est courbe dans un vaisseau accéléré, alors, d’après le principe d’équivalence, elle est aussi courbe dans un champ gravitationnel. Les rayons lumineux sont déviés par un champ gravitationnel intense.

L’effet a été mesuré sur des rayons lumineux passant près du Soleil (et donc soumis au champ gravitationnel solaire, beaucoup plus intense que le champ gravitationnel de la Terre parce que le Soleil est beaucoup plus massif).

Les montres molles

Nous allons interpréter cet effet comme une preuve que l’espace-temps est courbe. Commençons par faire une petite expérience en chambre pour mieux appréhender la notion d’espace courbe.

« Dans un grand lit doré »
Matériel : un lit double pas trop dur ; une grosse pierre ; un cochonnet.
Lissez bien le matelas. Faites rouler à sa surface le cochonnet et vérifiez qu’il roule à peu près en ligne droite. Déposez au centre du lit la pierre et répétez l’expérience en vous débrouillant pour que le cochonnet s’approche de la pierre sans la percuter. Le cochonnet suit une trajectoire courbe qu’on appelle géodésique. Plus la pierre est lourde, plus elle creuse le matelas et plus la trajectoire est courbe. De la même façon, le Soleil, très massif, courbe l’espace autour de lui : les rayons de lumière suivent les géodésiques.

Cette expérience était destinée à nous donner une idée intuitive de la notion d’espace courbe. Voyons plus en détail les raisons qui nous conduisent à introduire un espace-temps courbe.
Pour cela, notre voyage nous conduit dans une fête foraine. L’attraction qui va nous intéresser est l’un de ces manèges en forme de vastes plateaux circulaires qui tournent rapidement sur eux-mêmes comme des tourne-disques : une bonne façon d’expérimenter les effets de la force centrifuge. Dans la fête foraine où nous sommes, le plateau représente grossièrement une vieille montre de gousset.
Nous montons sur le manège munis d’un mètre et de quelques réveils pour effectuer quelques mesures. Attention aux âmes sensibles et aux estomacs délicats : pour que les effets que nous cherchons soient mesurables, il va falloir faire fonctionner le manège à des vitesses proches de celle de la lumière. En route !
Une fois la vitesse de croisière atteinte, nous commençons par tester la force centrifuge : plus la distance au centre est grande, plus la force que nous subissons est importante. Cette force centrifuge est liée à l’accélération inhérente à tout mouvement circulaire : nous en concluons que l’accélération augmente quand on s’éloigne du centre et est maximale à la périphérie.
Nous poursuivons nos investigations en mesurant le rayon du manège : 5 m. Puis nous en mesurons la circonférence externe. La mesure est a priori superflue : la circonférence est égale à 2π fois le rayon, soit environ 31,4 m. Notre mesure donne pourtant 28 m. Est-ce dû aux incertitudes de mesure ? Pour cela, nous répétons plusieurs fois la mesure et retrouvons approximativement 28 m, disons à 30 cm près.

En fait, nous en avons suffisamment appris pour comprendre ce qui se passe. Notons d’abord que dans le mouvement circulaire du manège, chaque point du plateau se déplace selon un cercle. Quand nous mesurons le rayon du plateau, nous effectuons une mesure perpendiculaire au mouvement : il n’y a donc pas d’effet de contraction des longueurs (décrit plus haut dans le cas du ballon rond qu’on observe ovale). Par contre, lorsque nous avons mesuré la circonférence, nous avons effectué une mesure dans le sens du mouvement et nous avons effectivement mesuré une contraction des longueurs : de 31,4 m à environ 28 m. Et si le manège tourne plus vite, l’effet sera plus important. Autrement dit, dans notre référentiel en mouvement, le rapport circonférence sur rayon n’est pas égal à 2 π. Ceci nous éloigne de l’espace euclidien auquel nous sommes habitués, et est en fait caractéristique d’un espace courbe (voir ci-dessous). Rappelons que le manège de notre fête foraine a une forme de montre, mais de montre molle puisque sa circonférence varie selon sa vitesse de rotation. Une montre non euclidienne ! Toute ressemblance avec le célèbre tableau de Dalí La Persistance de la mémoire n’est certainement pas fortuite. Il a été peint par Dalí en 1931 comme une métaphore de l’espace-temps courbe d’Einstein. Dans les termes mêmes du maître : « Les montres molles de Dalí ne sont rien d’autre que le tendre, l’extravagant, le solitaire camembert paranoïaque-critique de l’espace et du temps » (Dalí, 1968).
C’est en contemplant à la fin d’un dîner un camembert bien coulant qu’il aurait eu l’intuition de son tableau. Après la pomme, notre menu cosmique se complète peu à peu.
Nous sommes apparemment bien loin de nos rayons lumineux suivant des géodésiques courbes au voisinage du Soleil. Et pourtant ! Nous venons de constater que dans le référentiel accéléré du manège, l’espace est courbe. Nous avons appris que les mêmes effets peuvent être reproduits par une accélération ou par un champ gravitationnel. Un champ gravitationnel courbe donc l’espace.

Et le temps dans tout cela ? Si nous répartissons des réveils sur le plateau tournant à des distances variées du centre, nous constatons que plus on s’éloigne du centre, plus le temps se ralentit ! C’est un simple effet de la dilatation des temps dans les repères en mouvement : plus on se rapproche de la périphérie, plus la vitesse est grande et plus le temps se dilate. On en déduit que le temps coule plus lentement là où l’accélération est plus grande (c’est-à-dire près de la périphérie). Donc le temps coule plus lentement là où le champ gravitationnel est plus intense. Pour paraphraser une expression familière, tout près du Soleil, ils se la coulent plus douce que nous.
Terminons en expérimentant un peu en espace courbe.

Un peu de géométrie non euclidienne
Matériel : un globe terrestre (un ballon bien gonflé peut faire l’affaire), quelques brins de laine.
La sphère est l’espace courbe avec lequel nous sommes le plus familiers. Nous pouvons donc vérifier à son propos quelques faits indiqués dans le texte.
a) Tracez un cercle sur le globe terrestre. Pour cela, marquez un point, fixez-y une extrémité d’un fil de laine et tracez le cercle dessiné par l’autre extrémité du fil de laine quand on le fait tourner autour du point de référence. Mesurez le rayon du cercle (c’est-à-dire la longueur du fil de laine) et la circonférence (par exemple avec un autre brin de laine) et comparez le rapport circonférence sur rayon à la valeur attendue en géométrie euclidienne. Nous observons que le rapport circonférence sur rayon est inférieur à 2π.
b) En géométrie euclidienne, la somme des angles d’un triangle est égale à 180°. Fixez trois bouts de laine sur le globe pour former un triangle (« sphérique »). Mesurez les trois angles du triangle (attention, pour faire une mesure correcte, vous devez en principe avoir un rapporteur flexible : la mesure se fait sur la sphère) et calculez leur somme. Vous devriez trouver un nombre supérieur à 180°. Ceci est caractéristique d’un univers dit « fermé » (la sphère est un objet « fermé »). Un univers ouvert correspondrait à une somme inférieure à 180°. Pouvez-vous imaginer une surface sur laquelle on pourrait dessiner un tel triangle ?
Une selle ! Si d’aventure vous arrivez à vous en procurer une, refaites-y la mesure avec vos trois brins de laine.

En mission vers le trou noir

Lorsqu’on lance un vaisseau spatial de la Terre, il faut lui communiquer une vitesse suffisante pour qu’il puisse s’arracher du champ de gravitation terrestre. La vitesse doit être plus grande qu’une valeur qu’on appelle « vitesse de libération ». Si la Terre était une planète (ou une étoile) plus massive, le champ d’attraction serait plus fort et donc la vitesse de libération nécessaire plus grande.
Imaginons une étoile tellement massive que la vitesse de libération soit supérieure à 300 000 km/s, la vitesse c de la lumière. Puisque c est la vitesse maximale, aucun corps ne pourrait quitter l’étoile. Pas même la lumière : si nous émettions à partir de la surface de l’étoile un rayon de lumière vers le haut, ce rayon (courbé, comme nous l’avons vu, par le champ gravitationnel intense) retomberait sur l’étoile. Un tel objet astrophysique est appelé « trou noir ». Ce n’est pas à proprement parler une étoile, mais on pense qu’il peut apparaître à la suite de l’effondrement d’une étoile.
Plus précisément, dans une étoile, il y a équilibre entre deux effets :

  • l’attraction gravitationnelle entre ses différents éléments (qui tend à contracter l’étoile) ;
  • les processus nucléaires qui libèrent de l’énergie (et tendent donc à dilater l’étoile).

Quand le fuel nucléaire disparaît, l’effet de dilatation cesse et il y a effondrement gravitationnel. Si l’étoile est suffisamment massive, il peut y avoir formation d’un trou noir.

Ce trou noir est caractérisé par une surface sphérique qu’on appelle un horizon : tout ce qui pénètre (matière ou lumière) à l’intérieur de cet horizon ne peut plus en ressortir parce que happé par le champ gravitationnel du trou noir. Il serait erroné de croire que ce qui pénètre dans l’horizon est immédiatement broyé par les effets gravitationnels. Une image est souvent utilisée pour faire comprendre ce qu’est l’horizon du trou noir : celle d’une rivière en amont d’une cataracte. Une personne qui nage dans la rivière n’a pas à se préoccuper de la présence de la cataracte si elle nage suffisamment en amont, mais si elle se rapproche de la cataracte, elle franchit à un certain moment une ligne fictive telle qu’elle ne pourra plus remonter le courant. Même si cette personne est un excellent nageur, elle n’a plus le temps de rejoindre les bords avant que le courant ne l’entraîne dans la cataracte. Pourtant, elle n’a rien remarqué quand elle a traversé la ligne fictive, l’« horizon » de la chute d’eau.
De même que, dans notre exemple, la cataracte représente la catastrophe finale, le centre du trou noir représente le but ultime de tout ce qui tombe dans le trou noir. On l’appelle
singularité, parce que la géométrie de l’espace-temps y a un comportement singulier. Ce comportement singulier est à rapprocher de cette fameuse singularité initiale qu’on appelle le big-bang. La différence est que si nous remontons le temps, nous atteindrons la singularité tandis que, tant que nous sommes hors de l’horizon du trou noir, nous sommes protégés de sa singularité : aucune information ne peut provenir de l’intérieur de l’horizon. Personne ne peut aller faire un tour de l’autre côté de l’horizon pour « voir » la singularité puis revenir nous dire ce qu’il a vu.

Ceci nous amène tout naturellement à parler de la mission entreprise par le capitaine Map pour pénétrer à l’intérieur du trou noir SgrA* (nous sommes en 2590). Ce trou noir très massif serait (ceci, au moins, n’est pas de la science-fiction.) localisé au centre de notre galaxie. Lorsque le vaisseau spatial approche l’horizon puis le traverse, rien de dramatique ne se passe du point de vue du vaisseau spatial. La retransmission des images sur Terre (par ondes électromagnétiques) montre toutefois une version différente. Quand le vaisseau devient très proche de l’horizon, il se produit un retard entre les images envoyées et les images reçues qui s’accroît au fur et à mesure de l’approche. Sur nos écrans terriens, les gestes du capitaine Map se ralentissent de plus en plus, jusqu’à ce que son geste d’adieu se fige complètement. Peu de temps après, les images transmises s’affaiblissent puis disparaissent : les ondes électromagnétiques émises par le vaisseau retombent à l’intérieur du trou noir. L’aventure du capitaine Map continue pourtant, probablement pas très agréable, mais nous n’en saurons plus rien.

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