Le transit de Vénus devant le Soleil

4 - Du côté des enseignants
Auteurs : Equipe La main à la pâte(plus d'infos)
Résumé :
Voici les principes d'une autre méthode que celle des astronomes : elle évitera les notions et les calculs compliqués tout en aboutissant à un résultat honorable concernant l'évaluation de la distance Terre-Soleil ou unité astronomique.
Publication : 1 février 2004

Voici les principes d'une autre méthode que celle des astronomes : elle évitera les notions et les calculs compliqués tout en aboutissant à un résultat honorable concernant l'évaluation de la distance Terre-Soleil ou unité astronomique. Les quelques simulations qui suivent vont vous familiariser avec la double implication, à la fois optique et géométrique , de notre vision de Vénus se projetant sur le disque solaire. Ce sont des jeux de visée simples et amusants, ne nécessitant pour tout matériel que vos doigts, un ou deux cercles de papier sombre, une grande feuille blanche et un peu de ficelle…

Jeux de visée avec les doigts

Placez-vous face à une fenêtre, bras tendu devant vous, index levé, puis fermez un œil et essayer de masquer avec votre index un montant vertical de cette fenêtre : voyez si vous devez avancer ou reculer pour que la largeur de votre doigt coïncide avec celle du montant. Cela obtenu, mémorisez votre distance par rapport à la fenêtre ou mettez un repère au sol.

Figure 6 : personnage effectuant la visée

Ensuite, essayez d'anticiper ce qui va se passer si, en pliant un peu le coude, vous diminuez la distance entre votre œil et votre index, puis vérifiez-le en essayant à nouveau de masquer le montant. (Votre doigt, par un effet d'optique , vous paraissant plus gros, il faudra vous rapprocher de la fenêtre). Mémorisez votre nouvelle distance.
Reprenez le jeu à son début, mais cette fois en utilisant deux doigts, trois doigts, puis quatre : que constatez-vous ? (Plus on ajoute de doigts, plus il faut se rapprocher de la fenêtre, à fortiori si le coude est plié. Si les quatre doigts font à peu près la largeur du montant, il faut alors les plaquer contre celui-ci – que le coude soit plié ou non. Et si le montant est plus étroit que les quatre doigts, l'effet recherché est impossible à obtenir)

Premier bilan

Ces jeux ont mis en évidence l'interdépendance des différentes variables (paramètres relatifs aux distances entre l'observateur et les deux objets intervenant dans la visée, dimensions réelles et apparentes de ces deux objets). Si l'on considère que votre œil représente un observateur sur Terre, vos doigts, la planète Vénus, la largeur du montant de la fenêtre, son diamètre de projection sur le Soleil, la fenêtre et le mur entier, le Soleil lui- même, cela revient à dire que vous avez effectué une simulation de Vénus devant le Soleil. Mais c'est une simulation aléatoire puisque aucun paramètre – hormis le diamètre de projection imposé – n'est connu ou fixé à l'avance (fig. 7). De ce fait, ces premiers jeux ne peuvent nous renseigner sur la façon dont nous pourrions évaluer la distance Terre-Soleil. Les suivants, en revanche, vont nous fournir une clef fondamentale

Fig. 7 : schéma d'un transit aléatoire de Vénus


Jeux de visée avec un cercle de papier

Commençons par stabiliser un paramètre supplémentaire en choisissant un calibre fixe pour Vénus (nous le considérerons comme une donnée initiale, le diamètre de la planète étant déjà connu des astronomes). Donc, découpez un cercle de papier sombre (de 6 à 8cm de diamètre) et faites une visée pour qu'il se projette tout juste dans un cercle – un peu plus grand et en pointillés – tracé sur une grande feuille ronde représentant un disque solaire théorique. Vous comprendrez très vite qu'il vous faut stabiliser en plus un paramètre relatif aux distances , celle de la Terre à Vénus étant la plus commode car c'est la longueur de votre bras tendu. Cela fait, vous trouverez - cette fois sans équivoque - la distance à laquelle vous devez vous placer par rapport au Soleil pour obtenir votre visée (fig. 8a) : un peu plus près (fig. 8b), Vénus ne remplit pas le cercle de projection (et le Soleil vous paraît plus gros), un peu plus loin (fig. 8c), elle en déborde (et le Soleil vous paraît plus petit).

Fig. 8 : visée avec le cercle de papier, bras tendu, à 3 distances de l'écran, 8a, 8b, 8c

La distance Terre-Soleil a donc une relation bien précise avec la vision d'un transit de Vénus : mais comment déterminer cette relation ?
C'est là qu'une première astuce va vous venir en aide. Nous allons décider que le diamètre du cercle de projection va faire exactement le double de celui du cercle de Vénus (on aura donc un rapport 2). Tracez ce nouveau cercle en pointillés sur votre feuille-écran à la place du précédent. Ensuite, fixez à côté de lui un cercle de papier identique au premier : c'est une planète « jumelle » de Vénus qui matérialisera ce rapport et vous montrera que Vénus elle-même nous apparaîtrait bien plus petite si elle se trouvait contre le Solei l..
Faites votre visée et, sans bouger, demandez à quelqu'un de tendre une ficelle pour mesurer la distance Terre-Soleil, cela à partir de votre visage jusqu'au bord du cercle de projection. En repliant la ficelle en deux, vous constaterez que son milieu arrive au niveau du disque de Vénus et donc que – dans notre cas bien sûr –, l'unité astronomique fait le double de la distance Terre-Vénus . (fig. 9a)

Fig. 9a : visée avec le rapport 2 entre Vénus et son cercle de projection
Fig.9b : figure géométrique montrant ce rapport

Si l'on schématise la visée, on obtient deux triangles semblables, les côtés du plus grand faisant deux fois ceux du petit, illustrant par là le théorème de Thalès (fig. 9b)
Et si on trace un nouveau cercle de projection avec un diamètre faisant cette fois le triple de celui de Vénus, on constatera que l'unité astronomique fait le triple de la distance Terre-Vénus , cette dernière étant à un tiers d'UA de la Terre - et donc à deux tiers d'UA du Soleil – (fig. 10)

Fig. 10 : visée avec le rapport 3 entre Vénus et son cercle de projection
et figure géométrique montrant ce rapport


Nouveau bilan

Nous constatons qu'un simple effet d'optique a induit un rapport commun régissant, d'une part, deux diamètres apparents d'une même planète vue à deux distances différentes de la Terre, et régissant, d'autre part, ces deux distances. Le jour du transit de Vénus, cette clef nous permettra d'accéder au calcul de l'UA !

Exploitation de cette découverte

Il nous suffira de multiplier ce rapport commun par la distance Terre-Vénus (qui sera connue en tant que donnée initiale) pour obtenir la distance Terre-Soleil. Mais comment obtenir ce fameux rapport ? Il faudrait pouvoir connaître les deux diamètres apparents de Vénus : celui de sa projection sur le Soleil, et celui qu'elle aurait, vue également depuis la Terre, si elle – ou sa « sœur jumelle » - venait se placer contre le Soleil...
Pas de problème ! Nous verrons que deux mesures exécutées le 8 juin prochain, et assorties d'une donnée supplémentaire concernant les diamètres (réels cette fois) du Soleil et de Vénus, permettront de calculer ce rapport.

Les mesures du 8 juin

Supposons que ce jour-là nous obtenions sur l'écran d'un Solarscope une belle image du Soleil avec Vénus se projetant sur son disque… (Rassurons tout de suite ceux qui n'auront pas cet instrument à leur disposition ou ceux qu'un ciel nuageux empêchera d'apercevoir les deux astres : nous avons prévu de fournir en ligne un croquis qui sera à l'échelle, ce qui permettra de faire les deux mesures dont nous allons parler .)
Commençons par mesurer le diamètre de l'image du Soleil (car cela nous sera très utile tout à l'heure) : nous trouvons par exemple 12,7cm, c'est-à-dire 127mm . Mesurons – avec beaucoup de minutie – le petit cercle noir de Vénus se projetant sur le Soleil : supposons qu'il fasse à peine 0.4cm, disons 3.9mm (fig. 11 : attention, pour plus de clarté, elle n'est pas à l'échelle)

Fig. 11 : correspondance du transit de Vénus vu depuis l'espace
et vu dans un Scolarscope

Comme nous l'on révélé nos simulations, ce diamètre de Vénus projeté sur le disque solaire est plus grand que celui qu'on verrait si la planète se trouvait contre le Soleil… Or, c'est justement celui-ci qu'il nous faut maintenant connaître. Pour cela, reprenons l'idée d'une planète jumelle de Vénus venant se plaquer sur le disque solaire pendant le transit (fig. 12). Une seconde astuce va nous permettre de calculer facilement ce nouveau diamètre apparent : les astronomes ayant mesuré le diamètre réel du Soleil et de Vénus en ont déduit que celui du Soleil faisait 115 fois celui de la planète.

Fig. 12 : même figure que la 11 mais avec l'introduction
d'une sœur jumelle de Vénus contre le Soleil

Cette proportion restant la même quelle que soit l'échelle à laquelle seraient vus les deux astres, il nous suffit de diviser les 127mm de notre image du Soleil par 115, ce qui fait 1,1mm . Ainsi, Vénus qui serait, non pas à une certaine distance de la Terre, mais contre le Soleil nous apparaîtrait dans notre Solarscope avec un diamètre de seulement 1,1mm… Par une division de ses deux diamètres apparents, la planète nous fournit le rapport tant convoité : 3,9mm / 1,1mm = 3,545 (dans notre exemple.)

Fig. 13 : diagramme du calcul

Il nous faut, en dernier lieu, connaître la distance de la Terre à Vénus : les astronomes l'ont évaluée à 42 millions de km environ. La distance Terre-Soleil, ou unité astronomique, sera donc 3,545 fois plus grande, ce qui fait (toujours dans notre exemple) :
1 UA = 42 millions de km x 3,545 = 148,89 millions de km
La longueur « officielle » de l'UA est 149,6 millions de km (arrondis dans la pratique à 150 millions).